Barisan dan Deret

1). Pola barisan

Definisi barisan dan deret bilangan pernah dipelajari di tingkat SLTP, namun untuk

mengingat kembali akan dibahas sedikit tentang definisi barisan dan deret bilangan.

Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.

Elemen-elemen dari suatu barisan bilangan sering disebut dengan istilah suku.

Elemen pertama disebut suku pertama (U1), elemen ke-2 disebut suku ke-2 (U2),

elemen ke-3 disebut suku ke-3 (U3) dan seterusnya sampai pada elemen ke-n disebut

suku ke-n (Un)

Aturan atau pola dari suatu barisan dapat dinyatakan dalam bentuk definisi atau dapat

juga dinyatakan dalam bentuk rumusan.

Contoh 1

Tentukan pola atau aturan dari barisan di bawah ini:

a. 1, 3, 5, 7, . . .

b. 1, 4, 9, 16, 25, . . .

c. 8, 27, 64, 125, 216, . . .

Jawab:

a. Aturan atau pola dari barisan bilangan: 1, 3, 5, 7, . . . secara definisi adalah

bilangan ganjil mulai dari 1 atau bilangan naik yang memiliki selisih 2 yang dimulai

dari 1. Sedangkan secara rumus polanya adalah Un = 2n – 1 dengan n dimulai dari

1. (untuk seterusnya kata-kata “ n dimulai dari 1 “ tidak perlu dituliskan)

b. Pola dari barisan bilangan: 1, 4, 9, 16, 25, . . . secara definisi adalah kuadrat

bilangan asli mulai dari 1. Sedangkan secara rumus polanya adalah Un = n2.

c. Pola dari barisan bilangan: 8, 27, 64, 125, 216. . . secara definisi adalah pangkat

tiga dari bilangan asli mulai dari 2. Sedangkan secara rumus polanya: Un =(n + 1)3

Contoh 2

Tentukan pola suku ke-n dari barisan di bawah ini:

a. 3, 7, 11, 15, 19, . . .

b. 50, 47, 44, 41, 38, . . .

c. 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Jawab:

a. 3, 7, 11, 15, 19, . . . ; selisih dua suku yang berurutan adalah 4 dan suku

pertamanya 3 , jadi polanya Un = 4n – 1 (angka -1 diperoleh dari 3 – 4, akan

dibahas lebih lanjut pada barisan aritmatika)

b. 50, 47, 44, 41, 38, . . . ; selisih dua suku yang berurutan adalah -3 dan suku

pertamanya 50, jadi polanya Un = -3n + 53 (angka 53 diperoleh dari 50 – (-3))

                c. 2, 4, 8, 16, 32, . . . ; rasio dua suku yang berurutan adalah 2, jadi polanya Un = 2n

                   (akan dibahas lebih lanjut pada barisan geometri)

Contoh 3

Tentukan empat suku pertamanya dan suku ke-25 jika suatu barisan memiliki pola

suku ke-n:

a. Un = 3n – 7

b. Un = 2n2 + 3n

c. Un = 2.3(n – 1)

Jawab:

a. Un = 3n – 7

U1 = 3.1 – 7 = -4, U2 = 3.2 – 7 = -1, U3 = 3.3 – 7 = 2 dan U4 = 3.4 – 7 = 5

Jadi 4 suku pertamanya: -4, -1, 2, 5, . . .

Suku ke-25: U25 = 3.25 – 7 = 68

b. Un = 2n2 + 3n

U1 = 2.12 + 3.1 = 5, U2 = 2.22 + 3.2 = 14, U3 = 2.32 + 3.3 = 27 dan

U4 = 2.42 + 3.4 = 44. Jadi 4 suku pertamanya: 5, 14, 27, 44, . . .

Suku ke-25: U25 = 2. 252 + 3. 25 = 1250 + 75 = 1.325

                            c. Un = 2.3(n – 1)

U1 = 2.3(1 – 1) = 2, U2 = 2.3(2 – 1) = 6, U3 = 2.3(3 – 1) = 18 dan U4 = 2.3(4 – 1) = 54.

Jadi 4 suku pertamanya: 2, 6, 18, 54,. . .

Suku ke-25: U25 = 2. 3 (25 – 1) = 2. 3 24

Ada beberapa barisan yang memiliki nama. Nama barisan itu biasanya dicirikan oleh

bilangan-bilangan penyusunnya. Sebagai contoh:

a. 1, 2, 3, 4, 5, . . . ; dinamakan barisan bilangan asli

b. 1, 3, 5, 7, 9, . . . ; dinamakan barisan bilangan ganjil

c. 2, 4, 6, 8, 10, . . . ; dinamakan barisan bilangan genap

                  d. 1, 3, 6, 10, 15, . . ; dinamakan barisan bilangan segitiga karena memiliki

      e. 1, 4, 9, 16, 25, . . . ; dinamakan barisan bilangan persegi karena memiliki pola n2,

     pola tersebut seperti menentukan luas persegi = s2.

      f. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .; dinamakan barisan bilangan Fibonacci, dengan pola

bilangan berikutnya merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. Nama

barisan bilangan ini diberikan atas jasa Leonardo Fibonacci yang telah

mengungkapkan misteri barisan tersebut, dan lain-lain.

2). Deret bilangan

Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka akan terbentuk sebuah deret .

Misalkan:

Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, . . . deret bilangan asli: 1 + 2 + 3 + 4 + . . .

Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, . . . deret bilangan ganjil: 1 + 3 + 5 + . . .

Untuk menyatakan jumlah dari suatu deret biasanya dilambangkan dengan huruf S,

misalkan:

Jumlah satu suku (dari ) yang pertama dilambangkan dengan S1

Jumlah dua suku yang pertama dilambangkan dengan S2.

Jumlah tiga suku yang pertama dilambangkan dengan S3,

Jumlah n suku yang pertama dilambangkan dengan Sn

  

Contoh 4

          Dari deret: 1+ 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + . . . Tentukan: 

     a. Jumlah   1suku yang pertama, jumlah 2 suku yang pertama dan suku ke-2 

     b. Jumlah   2suku yang pertama, jumlah 3 suku yang pertama dan suku ke-3 

     c. Jumlah   3 suku yang pertama, jumlah 4 suku yang pertama dan suku ke-4

Jawab:

Jumlah 1 suku yang pertama: S1 = 1, Jumlah 2 suku yang pertama: S2 = 1 + 5 = 6,

suku ke-2: U2 = 5 diperoleh hubungan U2 = S2 – S1

Jumlah 2 suku yang pertama: S2 = 1 + 5 = 6, Jumlah 3 suku yang pertama: S3 = 1 +

5 + 9 = 15, suku ke-3: U3 = 9 diperoleh hubungan U3 = S3 – S2

Jumlah 3 suku yang pertama: S3 = 1 + 5 + 9 =15, Jumlah 4 suku yang pertama: S4 =

1 + 5+ 9 +13 = 28, suku ke-4: U4 = 13 diperoleh hubungan U4 = S4 – S3

Dari jawaban contoh 4, dapat diambil kesimpulan bahwa: suku ke-n = selisih antara

Jumlah n suku yang pertama dengan jumlah (n – 1) suku yang pertama

Un = Sn – S(n – 1) dengan syarat n > 1

 Contoh 5

Suatu deret bilangan memiliki jumlah n suku yang pertama dinyatakan dengan rumus:

Sn = 3n2 + 4n + 7. Tentukan:

a. Jumlah 5 suku yang pertama

b. Rumus suku ke-n

                           c. Suku ke-1